（洛谷P1551）亲戚

题目背景
若某个家族人员过于庞大，要判断两个是否是亲戚，确实还很不容易，现在给出某个亲戚关系图，求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。
题目描述
规定：x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚，那么x的亲戚都是y的亲戚，y的亲戚也都是x的亲戚。
输入格式
第一行：三个整数n,m,p，（n<=5000,m<=5000,p<=5000），分别表示有n个人，m个亲戚关系，询问p对亲戚关系。
以下m行：每行两个数Mi，Mj，1<=Mi，Mj<=N，表示Mi和Mj具有亲戚关系。
接下来p行：每行两个数Pi，Pj，询问Pi和Pj是否具有亲戚关系。
输出格式
P行，每行一个’Yes’或’No’。表示第i个询问的答案为“具有”或“不具有”亲戚关系。

要解决这样一种多个亲戚的关系，我们可以采用并查集的方法。那么什么是并查集呢？定义如下：

并查集是一种用于管理元素所属集合的数据结构，实现为一个森林，其中每棵树表示一个集合，树中的节点表示对应集合中的元素。

顾名思义，并查集支持两种操作：

合并（Union）：合并两个元素所属集合（合并对应的树）
查询（Find）：查询某个元素所属集合（查询对应的树的根节点），这可以用于判断两个元素是否属于同一集合

只看概念很难理解这到底是什么东西。我们将用通俗易懂的语言来解释什么是并查集。
首先在一个集合中将有关的元素连接起来形成树的结构，再遇到相关元素时，将新元素插入到树中，这样在查询A与B的相关性时我们可以通过对A祖宗节点的查询判断相关性(都连接在一起了)。
原本是

现在是

由此我们可以写出并查集的代码。
初始化：

int fa[MAXN];
inline void init(int n)
{for (int i = 1; i <= n; ++i)fa[i] = i;
}

其中fa数组用来存储对应角标元素的爹
初始化时自己是自己的爹

查询：
查询时我们需要在一次没找到对应关系后进行递归查询，万一是哪位祖宗呢？

int find(int x)
{if(fa[x] == x)return x;elsereturn find(fa[x]);
}

合并：
将两个树的根节点一个附着在另一个上当儿子就行

inline void merge(int i, int j)
{fa[find(i)] = find(j);
}

路径压缩

随着加入的节点越来越多，我们会发现，这个树会变成这样：

很明显，这样是很不便与我们找寻根节点的。
因此，我们需要将这棵树变成这样：

将节点直接与根节点相连接，就能在查找时变得更快。

我们该怎么实现呢？
很简单，我们只需在查找父节点时顺手将该元素目前的父节点更改为递归的值，就行了。

int find(int x)
{if(x == fa[x])return x;else{fa[x] = find(fa[x]);  //父节点设为根节点return fa[x];         //返回父节点}
}

是不是很简单？使用三问表达式我们还能更简单：

int find(int x)
{return x == fa[x] ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}

这样我们就可以得到结果了。

按秩合并

当我们遇到两颗树时，我们该把哪一颗树保留，让另一颗树往上补呢？

如这种情况下，是8做7的儿子还是7作8的儿子呢？当然是将8向7上靠。因为这样我们得出的树的最终深度将会最小，我们查询所耗费的时间将会是最小。同理，我们在合并两颗树的时候，应当按照深度来决定谁作父节点。这就是按秩合并的含义。

在代码实现中，我们引入一个新的数组rank来记录树的深度。
初始化：

inline void init(int n)
{for (int i = 1; i <= n; ++i){fa[i] = i;rank[i] = 1;}
}

合并：

inline void merge(int i, int j)
{int x = find(i), y = find(j);    //先找到两个根节点if (rank[x] <= rank[y])fa[x] = y;elsefa[y] = x;if (rank[x] == rank[y] && x != y)rank[y]++;                   //如果深度相同且根节点不同，则新的根节点的深度+1
}

为什么+1？

合并完

显然+1

例题代码：

#include <cstdio>
#define MAXN 5005
int fa[MAXN], rank[MAXN];
inline void init(int n)
{for (int i = 1; i <= n; ++i){fa[i] = i;rank[i] = 1;}
}
int find(int x)
{return x == fa[x] ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}
inline void merge(int i, int j)
{int x = find(i), y = find(j);if (rank[x] <= rank[y])fa[x] = y;elsefa[y] = x;if (rank[x] == rank[y] && x != y)rank[y]++;
}
int main()
{int n, m, p, x, y;scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);init(n);for (int i = 0; i < m; ++i){scanf("%d%d", &x, &y);merge(x, y);}for (int i = 0; i < p; ++i){scanf("%d%d", &x, &y);printf("%s\n", find(x) == find(y) ? "Yes" : "No");}return 0;
}